aljabar linear matrik

 

Makalah

ALJABAR LINEAR dan matrik

Disusun Oleh:

Alan Budikusuma           (  D1041141071 )

PROGRAM STUDI teknik informatika

FAKULTAS teknik

UNIVERSITAS tanjungpura

pontianak

2015

 

KATA PENGANTAR

Puji syukur kami panjatkan ke hadirat Allah Subhanahu wata’ala,  karena berkat rahmat-Nya kami dapat menyelesaikan makalah yang berjudul “Aljabar Linear Dan Matrik”. Makalah ini merupakan rangkuman dari buku “Aljabar Linear Elementer” karya Howard Anton. Makalah ini diajukan guna memenuhi tugas mata kuliah Aljabar Linear Elementer.

Kami mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu sehingga makalah ini dapat diselesaikan sesuai dengan waktunya. Makalah ini masih jauh dari sempurna. Oleh karena itu kami mengharapkan kritik dan saran yang bersifat membangun demi kesempurnaan makalah ini.

Semoga makalah ini memberikan informasi bagi masyarakat dan bermanfaat untuk pengembangan ilmu pengetahuan bagi kita semua.

Pontianak, 02 Juli 2015

                                                                                                  Penyusun

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR........................................................................................... i 

DAFTAR ISI........................................................................................................ ii 

              BAB I – PENDAHULUAN

1.1    LATAR BELAKANG............................................................................ 1 

1.2    TUJUAN................................................................................................ 1 

1.3   METODE PENULISAN......................................................................... 1 

BAB II – SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIKS

2.1  SISTEM PERSAMAAN LINEAR......................................................... 2   

2.2  ELIMINASI GAUSS............................................................................. 3   

2.3  SISTEM PERSAMAAN LINEAR HOMOGEN..................................... 6   

2.4  MATRIKS DAN OPERASI MATRIKS................................................. 9   

2.5  ATURAN-ATURAN ILMU HITUNG MATRIKS................................ 11  

2.6  MATRIKS ELEMENTER DAN METODE UNTUK MENCARI A^-1..... 17  

2.7 HASIL SELANJUTNYA MENGENAI SISTEM PERSAMAAN DAN KETERBALIKAN    18                                                                                                              

BAB III – DETERMINAN

3.1  FUNGSI DETERMINAN..................................................................... 20  

3.2  MENGHITUNG DETERMINAN DENGAN REDUKSI BARIS........... 23  

3.3  SIFAT-SIFAT FUNGSI DETERMINAN.............................................. 25  

3.4  EKSPANSI KOFAKTOR; ATURAN CRAMER.................................. 26  

BAB IV – VEKTOR-VEKTOR DI RUANG-2 DAN RUANG-3

4.1  VEKTOR (GEOMETRIK)................................................................... 31  

4.2  NORMA VEKTOR; ILMU HITUNG VEKTOR................................... 34  

4.3  HASIL KALI TITIK; PROYEKSI........................................................ 35  

4.4  HASIL KALI SILANG........................................................................ 39  

BAB V – RUANG-RUANG VEKTOR

5.1  RUANG – n EUCLIDIS....................................................................... 41  

5.2  RUANG VEKTOR UMUM................................................................. 43  

5.3  SUB-RUANG ..................................................................................... 44  

5.4  KEBEBASAN LINEAR....................................................................... 46  

 BAB VI – PENUTUP......................................................................... 49

DAFTAR PUSTAKA.......................................................................................... 50

DAFTAR PUSTAKA

Anton, Howard, Aljabar Linear Elementer, Jakarta: Erlangga, 1991.

Situs Internet:

www.google.com

www.wikipedia.com

BAB I

PENDAHULUAN

1.1       LATAR BELAKANG

Banyak orang yang beranggapan bahwa Matematika itu rumit, karena alasan itulah banyak orang yang menghindari Matematika. Padahal Matematika dapat kita jumpai di dalam kehidupan sehari-hari, dan mau tidak mau kita pasti menggunakan Matematika. Oleh karena itu kami membuat makalah ini dengan maksud membantu pemahaman masyarakat agar mereka tidak menilai Matematika adalah sesuatu yang buruk.

1.2       TUJUAN

Makalah ini dibuat dengan tujuan utama untuk memenuhi tugas mata kuliah Aljabar Linear Dan Matrik, yang diberikan oleh dosen kami Ibu Yulianti, S. Kom,MMsi. Dan tujuan berikutnya adalah sebagai sumber informasi yang kami harapkan bermanfaat dan dapat menambah wawasan para pembaca makalah ini.

1.3       METODE PENULISAN

Penulis menggunakan metode observasi dan kepusatakaan.

Cara yang digunakan dalam penulisan adalah Studi pustaka.

Dalam metode ini penulis membaca buku-buku yang berkaitan dengan penulisan makalah ini, selain itu penulis juga mencari sumber-sumber dari internet.

BAB II

SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIKS

2.1   SISTEM PERSAMAAN LINIER

 

SPL mempunyai m persamaan dan n variable.

Matris yang diperbesar (augmented matrix)

Contoh :

Solusi ( Pemecahan ) SPL, di bagi menjadi 2, yaitu :

1.      Konsisten

·      Solusi Tunggal

·      Solusi Banyak

2.      Tidak Konsisten

Contoh : Solusi Tunggal

Contoh : Solusi Banyak

g₁ = 2x - 3y = 6

g₂ = 2x – 3y =6

        m  <  n

Contoh : Tidak Konsisten

0 = Konstanta

2.2   ELIMINASI GAUSS

Pada bagian ini kita akan memberikan prosedur yang sistematik untuk memecahkan sistem-sistem persamaan linear; prosedur tersebut didasarkan kepada gagasan untuk mereduksi matriks yang diperbesar menjadi bentuk yang cukup sederhana sehingga sistem persamaan tersebut dapat dipecahkan dengan memeriksa sistem tersebut.

Matriks di atas adalah contoh matriks yang dinyatakan dalam bentuk eselon baris terreduksi (reduced row-echelon form). Supaya berbentuk seperti ini, maka matriks tersebut harus mempunyai sifat-sifat berikut.

1.      Jika baris tidak terdiri seluruhnya dari nol, maka bilangan taknol pertama dalam baris tersebut adalah 1. (Kita namakan 1 utama).

2.      Jika terdapat baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka semua baris seperti itu dikelompokkan bersama-sama di bawah matriks.

3.      Dalam sebarang dua baris yang berurutan yang seluruhnya tidak terdiri dari nol, maka 1 utama dalam baris yang lebih rendah terdapat lebih jauh ke kanan dari 1 utama dalam baris yang lebih tinggi.

4.      Masing-masing kolom yang mengandung 1 utama mempunyai nol di tempat lain.

Matriks yang memiliki sifat-sifar 1,2 dan 3 dapat dikatakan dalam bentuk eselon baris (row-echelon form).

Berikut ini adalah beberapa contoh matriks dalam bentuk seselon baris terreduksi.

   

Matriks-matriks berikut adalah matriks dalam bentuk eselon baris.

  

Tidak sukar untuk memantau apabila matriks dalam bentuk eselon baris harus mempunyai nol di bawah setiap 1 utama. Bertentangan dengan hal ini, matriks dalam bentuk eselon baris terreduksi harus mempunyai nol di atas dan di bawah masing-masing 1 utama.

 

Prosedur untuk meredusi matriks menjadi bentuk eselon baris terreduksi dinamakan eliminasi Gauss-Jordan, sedangkan untuk mereduksi matriks menjadi bentuk eselon baris dinamakan eliminasi Gauss.

Contoh 1:

Pecahkanlah dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan.

x₁         + 3x₂    – 2x₃                + 2x₅                = 0

2x₁       + 6x₂    – 5x₃    – 2x₄    + 4x₅    – 3x₆    = –1

5x₃       + 10x₄              + 15x₆ = 5

2x₁       + 6x₂                + 8x₄    + 4x₅    + 18x₆ = 6

Maka matriks yang diperbesar dari sistem tersebut adalah

Dengan menambahkan -2 kali baris pertama pada baris kedua dan keempat maka akan mendapatkan

Dengan mengalikan dengan -1 dan kemudian menambahkan -5 kali baris kedua kepada baris ketiga dan -4 kali baris kedua kepada baris keempat maka akan memberikan

Dengan mempertukarkan baris ketiga dengan baris keempat dan kemudian mengalikan baris ketiga dari matriks yang dihasilkan dengan 1/6 maka akan memberikan bentuk eselon baris

Dengan menambahkan -3 kali baris ketiga pada baris kedua dan kemudian menambahkan 2 kali baris kedua dari matriks yang dihasilkan pada baris pertama maka akan menghasilkan bentuk eselon baris terreduksi

Sistem persamaan-persamaan yang bersesuaian adalah

x₁         + 3x₂                + 4x₄    + 2x₅                = 0

x₃         + 2x₄                            = 0

x₆         =

Dengan memecahkannya untuk peubah peubah utama, maka kita dapatkan

x₁ = – 3x₂ – 4x₄  – 2x₅

x₃ = – 2x₄

x₆ =

Jika kita menetapkan nilai-nilai sebarang r, s, dan t berurutan untuk x₂, x₄, dan x₅, maka himpunan pemecahan tersebut diberikan oleh rumus-rumus

x₁ = – 3r – 4s  – 2t ,  x₂ = r ,  x₃ = – 2s ,  x₄ = s ,  x₅ = t , x₆ =

Terkadang lebih mudah memecahkan sistem persamaan linear dengan menggunakan eliminasi Gauss untuk mengubah matriks yang diperbesar menjadi ke dalam bentuk eselon baris tanpa meneruskannya ke bentuk eselon baris terreduksi. Bila hal ini dilakukan, maka sistem persamaan-persamaan yang bersesuaian dapat dipecahkan dengan sebuah cara yang dinamakan substitusi balik (back-substitution). Kita akan melukiskan metode ini dengan menggunakan sistem persamaan-persamaan pada contoh 1.

Dari perhitungan dalam contoh 1, bentuk eselon baris dari matriks yang diperbesar tersebut adalah

Untuk memecahkan sistem persamaan-persamaan yang bersesuaian

x₁         + 3x₂     – 2x₃               + 2x₅                = 0

                        x₃         + 2x₄                + 3x₆    = 1

x₆         =

Langkah 1. Pecahkanlah persamaan-persamaan tersebut untuk peubah-peubah utama.

maka kita memprosesnya sebagai berikut :

x₁ = – 3x₂ + 2x₃ – 2x₅

x₃ = 1 – 2x₄ – 3x₆

x₆ =

Langkah 2. Mulailah dengan persamaan bawah dan bekerjalah ke arah atas, substitusikan secara keseluruhan masing-masing persamaan ke dalam semua persamaan  yang di atasnya.

 

Dengan mensubstitusikan x₆ =  ke dalam persamaan kedua maka akan menghasilkan

x₁ = – 3x₂ + 2x₃ – 2x₅

x₃ = – 2x₄

x₆ =

Dengan mensubstitusikan x₃ = – 2x₄ ke dalam persamaan pertama maka akan menghasilkan

x₁ = – 3x₂ – 4x₄  – 2x₅

x₃ = – 2x₄

x₆ =

Langkah 3. Tetapkanlah nilai-nilai sebarang pada setiap peubah tak utama.

 

Jika kita menetapkan nilai-nilai sebarang r, s, dan t berurutan untuk x₂, x₄, dan x₅, maka himpunan pemecahan tersebut diberikan oleh rumus-rumus

x₁ = – 3r – 4s  – 2t ,  x₂ = r ,  x₃ = – 2s ,  x₄ = s ,  x₅ = t , x₆ =

Ini sesuai dengan pemecahan yang diperoleh pada contoh 1.

2.3   SISTEM PERSAMAAN LINIER HOMOGEN

Sebuah sistem persamaan-persamaan linier dikatakan homogen jika semua suku konstan sama dengan nol; yakni sistem tersebut mempunyai bentuk

                              a₁₁x₁ + a₁₂x₂  + ……+ a_1nx_n = 0

                              a₂₁x₂ + a₂₂x₂  + ……+ a_2nx_n = 0

                                  :          :                      :        :

                              a_m1x₁ + a_m2x₂  + ……+ a_mnx_n = 0

Tiap-tiap sistem persamaan linier homogen adalah sistem yang konsisten, karena x₁ = 0, x₂ = 0,….., x_n = 0 selalu merupakan pemecahan. Pemecahan terebut, dinamakan pemecahan trivial (trivial solution); jika ada pemecahan lain, maka pemecahan tersebut dinamakan pemecahan taktrivial (nontrivial solution).

Karena sistem persamaan linier homogen harus konsisten, maka terdapat satu pemecahan atau tak terhingga banyaknya pemecahan. Karena salah satu di antara pemecahan ini adalah pemecahan trivial, maka kita dapat membuat pernyataan berikut.

Untuk sistem persamaan-persamaan linier homogeny, maka persis salah satu di antara pernyataan berikut benar.

1.      Sistem tersebut hanya mempunyai pemecahan trivial.

2.      Sistem tersebut mempunyai tak terhingga banyaknya pemecahan tak trivial sebagai tambahan terhadap pemecahan trivial tersebut.

Terdapat satu kasus yang sistem homogennya dipastikan mempunyai pemecahan tak trivial ; yakni, jika sistem tersebut melibatkan lebih banyak bilangan tak diketahui dari banyaknya persamaan. Untuk melihat mengapa hanya demikian, tinjaulah contoh berikut dari empat persamaan dengan lima bilangan tak diketahui.

Contoh :

Pecahkanlah sistem persamaan-persamaan linier homogeny berikut dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan.

                              2X + 2X₂ – X₃    + X₅        = 0

                              -X₁ – X₂ + 2X₃ – X₄ + X₅ = 0                           

                              X₁ + X₂ – 2X₃      - 5X₅      = 0

                                          X₃ + X₄ + X₅       = 0

Matrix yang diperbesar untuk sistem tersebut adalah

Dengan mereduksi matriks ii menjadi bentuk eselon baris tereduksi, maka kita dapatkan

Sistem persamaan yang bersesuaian adalah

                                                            X₁ + X₂ + X₅  = 0

                                                            X₃ + X₅ = 0

                                                            X₄ = 0

Dengan memecahkannya untuk peubah-peubah utama maka akan menghasilkan

                                                            X₁ = -X₂ – X₅

                                                            X₃ = -X₅

                                                                                X₄ = 0

Maka himpunan pemecahan akan di berikan oleh

            X₁ = -s – t,        X₂ = s,              X₃ = -t ,            X₄ = 0,                         X₅ = t  

Perhatikan bahwa pemecahan trivial kita dapatkan bila s = t = 0.

2.4       MATRIKS DAN OPERASI MATRIKS

Matriks

Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari bilangan-bilangan. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks.

A =  

Operasi Matriks

1.      Penjumlahan :

Definisi : jika A dan B adalah sebarang dua matriks yang ukurannya sama, maka jumlah A + B adalah matriks yang di peroleh dengan menambahkan bersama-sama entri yang bersesuaian dalam kedua matriks tersebut. Matriks-matriks yang ukurannya berbeda tidak dapat di tambahkan. 

A = , B = 

A + B = +  =

Contoh : A =  , B =  , C =  

A + B =

Sedangkan A + C dan B + C tidak di definisikan.

2.      Perkalian dengan konstanta

Definisi : Jka A adalah suatu matriks dan c adalah scalar, maka hasil kali cA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan masing=masing entri dari A oleh c. 

c  =  

Contoh : A =   , maka 2A = 

3.      Perkalian, dengan syarat A_{m x n} B_{n x o} = C_{m x o}  

Definisi : Jika A adalah matriks m x r dan B matriks r x n, maka hasil kali AB adalah matriks m x n yang entri- entrinya ditentukan sebagai berikut. Untuk mencari entri dalam baris I dan kolom j dari AB, pilihlah baris i dari matriks A dan kolom j dari matriks B. Kalikanlah entri-entri yang bersesuaian dari baris dan kolom tersebut bersama-sama dan kemudian tambahkanlah hasil kali yang dihasilkan.

A = , B =

AB = =

Contoh : A =  , B =  

AB =  

Transpose

Definisi : Jika A adalah sebarang matriks m x n, maka Transpos A dinyatakan oleh A^t dan didefinisikan dengan matriks n x m yang kolom pertmanya adalah baris pertama dari A, kolom keduanya adalah baris kedua dari A, demikian juaga dengan kolom ketiga adalah baris ketiga dari A, dan seterusnya.

A =  ® A^t =  

Contoh : A =  ® A^t =  

2.5   ATURAN-ATURAN ILMU HITUNG MATRIKS

Walaupun banyak dari aturan-aturan ilmu hitung bilangan riil berlaku juga untuk matriks, namun terdapat beberapa pengecualian. Salah satu dari pengecualian yang terpenting terjadi dalam perkalian matriks. Untuk bilangan-bilangan rill a dan b, kita selalu mempunyai ab = bayang sering dinamakan hukum komutatif untuk perkalian. Akan tetapi, untuk matriks-matriks, maka AB dan BA tidak perlu sama.

Contoh 20

Tinjaulah matriks-matriks

Dengan mengalikannya maka akan memberikan

 

Jadi, AB ≠ BA

Contoh 21

Sebagai gambaran hukum asosiatif untuk perkalian matriks, tinjaulah

 

Kemudian

 

                                                    

Sehingga

                                                    

Sebaliknya

                                                               

Maka

 

Teorema 3. Dengan menganggap bahwa ukuran-ukuran matriks adalah sedemikian rupa sehingga operasi-operasi yang ditunjukkan dapat dikabulkan, maka aturan-aturan ilmu hitung matriks yang berikut akan shahih. (a)      A + 0 = 0 + A = A (b)      A – A = 0 (c)      0 – A = -A (d)      A0 = 0; 0A = 0

Jadi, (AB)C = A(BC), seperti yang dijamin oleh Teorema 2(c).

	Teorema 4. Setiap sistem persamaan linear tidak mempunyai pemecahan, persis satu pemecahan, atau tak terhingga banyaknya pemecahan.

 

Bukti. Jika AX = B adalah sistem persamaan linear, maka persis satu dari antara berikut akan benar: (a) sistem tersebut tidak mempunyai pemecahan, (b) sistem tersebut mempunyai persis satu pemecahan, atau (c) sistem tersebut mempunyai lebih dari satu pemecahan. Bukti tersebut akan lengkap jika kita dapat memperlihatkan bahwa sistem tersebut mempunyai takhingga banyaknya pemecahan dalam kasus (c).

Contoh 23

Tinjaulah matriks

Maka

                                                                                                             

Dan

                                                                                                                    

	Definisi. Jika A  adalah matriks kuadrat, dan jika kita dapat mencari matriks B sehingga AB = BA = I, maka A dikatakan dapat dibalik (invertible) dan B dinamakan invers (inverse) dari A.

 

Contoh 24

Matriks

                                 adalah invers dari                                   

karena

dan

Teorema 5. Jika baik B maupun C adalah invers matriks A, maka B = C

 

Bukti. Karena B adalah invers A, maka BA = I. Dengan mengalikan kedua ruas dari sebelah kanan dengan C maka akan memberikan (BA)C = IC = I. Tetapi (BA)C = B(AC) = BI = B, sehingga B = C.

Contoh 26

Tinjaulah matriks 2x2                                        

Jika ad – bc ≠ 0, maka

 

	Teorema 6. Jika A dan B adalah matriks-matriks yang dapat dibalik dan yang ukurannya sama, maka (a)   AB dapat dibalik (b)   (AB) = BA

 

Bukti. Jika kita dapat memperlihatkan bahwa (AB)(AB) = (BA)(AB)=I, maka kita telah secara serempak membuktikan bahwa AB  dapat dibalik dan bahwa (AB) = BA. Tetapi (AB)(BA) = AIA = AA = I. Demikian juga (BA)(AB) = I.

Contoh 27

Tinjaulah matriks-matriks

Dengan menerapkan rumus yang diberikan dalam contoh 25, kita dapatkan

 

Maka, (AB)^-1 = B^-1A ^-1 seperti yang dijamin oleh Teorema 6.

 

Teorema 7. Jika A adalah matriks kuadrat dan r serta s adalah bilangan bulat, maka Ar As = Ar+s     (Ar)s = Ars

Teorema berikut, yang kita nyatakan tanpa bukti, menunjukkan bahwa hukum-hukum yang sudah dikenal dari eksponen adalah shahih.

           

            Teorema selanjutnya menetapkan beberapa sifat tambahan yang berguna dari eksponen matriks tersebut.

	Teorema 8. Jika A adalah sebuah matriks yang dapat dibalik, maka: a)      A-1 dapat dibalik dan (A-1)-1 = A b)      An dapat dibalik dan (An)-1 = (A-1)n untuk n = 0,1,2,….. c)      Untuk setiap skalar k yang taksama dengan nol, maka kA dapat dibalik dan (kA)-1 =  A-1

 

Bukti.

a.       Karena AA^-1 = A^-1 A = I, maka A^-1 dapat dibalik dan (A^-1)^-1 = A.

b.      –

c.       Jika k adalah sebarang scalar yang taksama dengan nol, maka hasil (l) dan (m) dari Teorema 2 akan memungkinkan kita untuk menuliskan

(kA)=

Demikian juga (kA) = I sehingga kA dapat dibalik dan (kA)^-1 = .

Kita simpulkan bagian ini dengan sebuah Teorema yang menyenaraikan sifat-sifat utama dari operasi transpose.

		Teorema 9. Jika ukuran matriks seperti operasi yang diberikan dapat dilakukan, maka a.      (At)t = A b.      (A+B)t = At + Bt c.       (kA)t = kAt , dimana k adalah sebarang scalar. d.      (AB)t = Bt At
	Transpose sebuah hasil kali matriks sama dengan hasil kali transposnya dalam urutan kebalikannya.

 

2.6   MATRIKS ELEMENTER DAN METODE UNTUK MENCARI A^-1

Dibawah ini kita daftarkan matriks elementer dan operasi-operasi yang menghasilkannya.

(i)                          (ii)       (iii)   (iv)

                                      

 

Operasi baris pada I yang menghasilkan E	Operasi baris pada E yang menghasilkan I
Kalikanlah baris I dengan c ≠ 0.	Kalikanlah baris I dengan
Pertukarkan baris I dan baris j.	Pertukarkan baris i dan baris j.
Tambahkan c kali baris I ke baris j.	Tambahkan – c kali baris i ke baris j.

Operasi-operasi d ruas kanan dari tabel ini dinamakan operasi invers dari operasi-operasi yang bersesuaian di ruas kiri.

 

Bukti. Jika E adalah matriks elementer, maka E dihasilkan dari peragaan operasi baris pada I. Misalnya E_o adalah matriks yang dihasilkan bila invers operasi ini diterapkan pada I. Baris invers akan saling meniadakan efek satu sama lain, maka diperoleh

                        E_oE = I dan         EE_o = I

Jadi, matriks elementer E_o adalah invers dari E.

A  I   =   I A^-1

Contoh :

A =                      A^-1 = . . . ?

Jawab :

A  I =  

        =          

        =   

        =   

      =

                             I           A^-1

2.7  HASIL SELANJUTNYA MENGENAI SISTEM PERSAMAN DAN KETERBALIKAN

 

AX = B → X =   → I . B = B

                                   A .  = B

                                    A .  X       =  B

       X       =  A^-1 . B

X . A = B

X . . . ?

Jawab:

B . I = B

 . A = B

     X      . A  =  B

            X      = B . A^-1

BAB III

DETERMINAN

3.1   FUNGSI DETERMINAN

Dalam bagian ini kita memulai pengkajian fungsi bernilai rill dari sebuah peubah matriks, yakni fungsi yang mengasosiasikan sebuah bilangan riil  dengan sebuah matriks . Sebelum kita mampu mendefinisikan fungsi determinan, maka kita perlu menetapkan beberapa hasil yang menyangkut permutasi.

 

Contoh :

Ada enam permutasi yang berbeda dari himpunan bilangan-bilangan bulat . Permutasi-permutasi ini adalah

(1, 2, 3)       (2, 1, 3)      (3, 1, 2)

(1, 3, 2)       (2, 3, 1)      (3, 2, 1)

Salah satu metode yang mudah secara sistematis mendaftarkan permutasi-permutasi adalah dengan menggunakan pohon permutasi (permutation tree).

Contoh :

Untuk menyatakan permutasi umum dari himpunan , maka kita akan menuliskan . Disini,  adalah bilangan bulat pertama dalam permutasian,  adalah bilangan bulat kedua, dan seterusnya. Sebuah invers (inversion) dikatakan terjadi dalam permutasi  jika sebuah bilangan bulat yang lebih besar mendahului sebuah bilangan bulat yang lebih kecil. Jumlah invers seluruhnya yang terjadi dalam permutasi dapat diperoleh sebagai berikut:

1)      Carilah banyaknya bilangan bulat yang lebih kecil dari  dan yang membawa  dalam mutasi tersebut.

2)      Carilah banyaknya bilangan bulat yang lebih kecil dari  dan yang membawa  dalam mutasi tersebut.

Teruskanlah proses penghitungan ini untuk . Jumlah bilangan-bilangan ini akan sama dengan jumlah invers seluruhnya dalam permutasi tersebut.

Contoh :

Tentukanlah banyaknya invers dalam permutasi-permutasi berikut

a)      (3, 4, 1, 5, 2)

b)      (4, 2, 5, 3, 1)

Jawab:

a)      Banyaknya invers adalah 2 + 2 + 0 + 1 = 5

b)      Banyaknya invers adalah 3 + 1 + 2 + 1 = 7

 

Contoh :

Tabel berikut mengklasifikasikan berbagai permutasi dari  sebagai genap atau ganjil.

Permutasi	Banyaknya Invers	Klasifikasi
(1, 2, 3)	0	Genap
(1, 3, 2)	1	Ganjil
(2, 1, 3)	1	Ganjil
(2, 3, 1)	2	Genap
(3, 1, 2)	2	Genap
(3, 2, 1)	3	Ganjil

Fungsi Determinan

Definisi : misalkan A adalah matriks kuadrat. Fungsi determinan dinyatakan oleh det, dan kita definiskan det(A) sebagai jumlah semua hasil kali elementer bertanda dari A jumlah det(A) kita namakan determinan A.

Contoh 5

det  =

det  =

Caranya sebagai berikut :

 

                 

Dengan mengalikan entri-entri pada panah yang mengarah ke kanan dan mengurangkan hasil kali entri-entri pada panah yang mengarah ke kiri.

Contoh 6

Hitunglah determinan-determinan dari :

A.     =

B.     =  

Dengan menggunakan cara dari contoh 5 maka :

det(A) = (3)(-2) – (1)(4) = -10

dengan mnggunakan cara dari contoh 5 maka :

det(A) = (45) + (84) + (96) – (105) – (-48) – (-72) = 240

*Perhatian bahwa metode/cara yang digunakan pada contoh 5 dan 6 tidak berlaku determinan matriks 4 x 4 atau untuk matriks yang lebih tinggi. 

3.2   MENGHITUNG DETERMINAN DENGAN REDUKSI BARIS

Matriks kuadrat kita namakan segitiga atas (upper triangular) jika semua entri di bawah diagonal utama adalah nol. Begitu juga matriks kuadrat kita namakan segitiga bawah (lower triangular), jika semua entri di atas diagonal utama adalah nol. Sebuah matriks baik yang merupakan segitiga atas maupun segitiga bawah kita namakan segitiga (triangular).

Contoh:

Sebuah matriks segitiga atas 4  4 yang umum mempunyai bentuk

 

Sebuah matriks segitiga bawah 4  4 yang umum mempunyai bentuk

 

 

Contoh:

 = 1 . 1 . 7 = 7

Contoh :

Karena operasi perkalian maka kebalikannya dikali

A =  = - 2

 =                    = 4  

                                             = 4 . (-2)

                                             = -8

Karena pertukaran antar baris maka dikali .

 =                                 =  

                                                         = - (-2)

                                                         = 2

	Karena pertambahan antar baris maka tidak berpengaruh.

 

 =                            =

                                                         = -2

Contoh :

A =

Det (A) =

Kita tidak memerlukan reduksi selanjutnya karena dari Teorema 1 kita peroleh bahwa det (A) = 0. Dari contoh ini seharusnya sudah jelas bahwa bila matriks kuadrat mempunyai dua baris yang terdiri dari bilangan nol dengan menambahkan kelipatan yang sesuai dari salah satu baris ini pada baris yang satu lagi. Jadi, jika matriks kuadrat mempunyai dua baris yang sebanding, maka determinannya sama dengan nol.

Contoh :

 Karena baris pertama dan kedua sebanding yaitu 1 : 2 maka det (A) = 0.

3.3       SIFAT-SIFAT FUNGSI DETEREMINAN

	Teorema  4. Juka A adalah sembarang matiks kuadrat, maka det (A) =det (At).

 

Pernyataan. Karena hasil ini, maka hampir tiap-tiap teorema mengenai determinan yang mengandung perkataan baris dalam pernyataannya akan benar juga bila perkataan “kolom” disubstitusikan untuk “baris”. Untuk membuktikan pernyataan kolom, kita hanya perlu mentranspos (memindahkan) matriks yang di tinjau untuk mengubah pernyataan kolom tersebut pada pernyataan baris, dan kemudian menerapkan hasil yang bersesuaian yang sudah kita ketahui untuk baris.

Contoh

Hitunglah determinan dari

A =

Determinan ini dapat di hitung seperti sebelumunya dengan menggunakan operasi baris elementer untuk mereduksi A pada bentuk eelon baris. Sebaliknya, kita dapat menaruh A pada bentuk segitiga bawah dalam satu langkah dengan menambahkan -3 kali kolom pertama pada kolom keempat untuk mendapatkan

Det (A) = det  =(1)(7)(3)(-26)= -546

Contoh ini menunjukkan bahwa selalu merupakan hal yang bijaksana untuk memperhatikan operasi kolom yang tepat yang akan meringkaskan perhitungan tersebut.

Misalkan A dan B adalah matriks-matriks n x n dan k adalah sebarang skalar. Kita karang meninjau hubungan yang mungkin di antara det(A), det(B), dan

det(kA), det(A + B), dan det(AB)

karena sebuah faktor bersama dari sebarang baris matriks dapat dipindahkan melalui tanda det, dan karena setiap baris n baris dalam kA mempunyai factor bersama sebesr k, maka kita dapatkan

det(kA) = kⁿ det(A)

	Teorema 5.  Misalkan A, A’, dan A” adalah matiks n x n yang hanya berbeda dalam garis tunggal, katakanlah baris ke r, dan anggaplah bahwa baris ke r dari A” dapat diperoleh dengan menambahkan entri-entri yang bersesuaian dalam baris ke r dari A dan dalam baris ke r dari A’. Maka det(A”) = det (A) + det (A’) Hasil yang serupa berlaku untuk kolom-kolom itu.

 

Contoh 

Dengan menghitung determinan, anda dapat memeriksa bahwa

det  =  +

Teorema 6.  Jika A dan B adalah matriks kuadrat yang ukurannya sama, maka det(AB) = det(A)det(B)

 

Contoh

Tinjaulah matriks-matriks                   

                       

Kita peroleh det(A) det(B) = (1) (-23) = -23. Sebaliknya dengan perhitungan langsung maka det(AB) = -23, sehingga det(AB) = det(A) det(B).

	Teorema 7.  Sebuah matriks A kuadrat dapat di balik jika dan hanya jika det(A) ¹0

 

Contoh

Karena baris pertama dan baris ketiga dari

                                   

Sebanding, maka det(A) = 0, jadi A tidak dapat dibalik

3.4   EKSPANSI KOFAKTOR; ATURAN CRAMER

Pada bagian ini kita meninjau sebuah metode untuk mengitung determinan yang berguna untuk perhitungan yang menggunakan tangan dan secara teoritis penting penggunaannya. Sebagai konsekuensi dari kerja kita di sini, kita akan mendapatkan rumus untuk invers dari matriks yang dapat dibalik dan juga akan mendapatkan rumus untuk pemecahan sistem-sistem persamaan linear tertentu yang dinyatakan dalam determinan.

Definisi : Jika A adalah matriks kuadrat, maka minor entri aij dinyatakan oleh Mij dan didefinisikan menjadi determinan submatriks yang tetap setelah baris ke i dan kolom ke j dicoret dari A. Bilangan (-1)i + jMij dinyatakan oleh Cij dan dinamakan kofaktor entri aij.

 

Contoh :

Misalkan

Minor entri a₁₁ adalah

Kofaktor a₁₁ adalah

C₁₁ = (-1)^{1 + 1} M₁₁ = M₁₁ = 16

Demikian juga, minor entri a₃₂ adalah

Kofaktor a₃₂ adalah

C₃₂ = (-1)^{3 + 2} M₃₂ = M₃₂ = – 26

Perhatikan bahwa kofaktor dan minor elemen a_ij hanya berbeda dalam tandanya, yakni, C_ij = ± M_ij. Cara cepat untuk menentukan apakah penggunaan tanda + atau tanda – merupakan kenyataan bahwa penggunaan tanda yang menghubungkan C_ij dan M_ij berada dalam baris ke i dan kolom ke j dari susunan

Misalnya, C₁₁ = M₁₁, C₂₁ = – M₂₁, C₁₂ = – M₁₂, C₂₂ = M₂₂, dan seterusnya.

Tinjaulah matriks 3 x 3 umum

dapat kita tuliskan kembali menjadi

Karena pernyataan-pernyataan dalam kurung tidak lain adalah kofaktor-kofaktor C₁₁, C₂₁ dan C₃₁, maka kita peroleh

Persamaan di atas memperlihatkan bahwa determinan A dapat dihitung dengan mengalikan entri-entri pada kolom pertama A dengan kofaktor-kofaktornya dan menambahkan hasil kalinya. Metode menghitung det(A) ini dinamakan ekspansi kofaktor sepanjang kolom pertama A.

Contoh :

Misalkan

Hitunglah det(A) dengan metode ekspansi kofaktor sepanjang kolom pertama A.

Pemecahan.

                                               

                                                           

                                                           

                                                           

                                                           

                                                           

Perhatikan bahwa dalam setiap persamaan semua entri dan kofaktor berasal dari baris atau kolom yang sama. Persamaan ini dinamakan ekspansi-ekspansi kofaktor det(A).

Hasil-hasil yang baru saja kita berikan untuk matriks 3 x 3 membentuk kasus khusus dari teorema umum berikut, yang kita nyatakan tanpa memberikan buktinya.

Teorema 8. Determinan matriks A yang berukuran n x n dapat dihitung dengan mengalikan entri-entri dalam suatu baris (atau kolom) dengan kofaktor-kofaktornya dan menambahkan hasil-hasil kali yang dihasilkan; yakni untuk setiap 1 ≤ i ≤ n dan 1 ≤ j ≤ n

 

Maka, ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke j

dan ekspansi kofaktor sepanjang baris ke i

Jika matriks A adalah sebarang matriks n x n dan C_ij adalah kofaktor a_ij, maka matriks

Dinamakan matriks kofaktor A. Transpos matriks ini dinamakan adjoin A dan dinyatakan dengan adj(A).

	Teorema 9. Jika A adalah matriks yang dapat dibalik, maka
	Teorema 10 (Aturan Cramer) Jika AX = B adalah sistem yang terdiri dari n persamaan linear dalam n bilangan takdiketahui sehingga det(A) ≠ 0, maka sistem tersebut mempunyai pemecahan yan unik. Pemecahan ini adalah dimana Aj adalah matriks yang kita dapatkan dengan mengganti entri-entri dalam kolom ke j dari A dengan entri-entri dalam matriks

 

BAB IV

VEKTOR-VEKTOR DI RUANG-2 DAN RUANG-3

4.1       VEKTOR (GEOMETRIK)

                                      Vektor AB atau vektor u

                                      A adalah titik awal (intial point)

                                      B adalah titik terminal (terminal point)

·         Vektor Ekivalen

                                                       u ekivalen v

                                                       Apabila arah dan panjangnya sama.

                                                       Jadi u = v

·         Penjumlahan Vektor

                                                       v + w = w + v

·         Vektor Nol

0        + v = v + 0 = v

·         Vektor Negatif

v + (-v) = 0

·         Pengurangan Vektor

v – w = v + (-w)

 

·         Komponen vektor di Ruang-2

u = (u₁, u₂)

v = (v₁, v₂)

·         Komponen vektor di Ruang-3

u = (u₁, u₂, u₃)

v = (v₁, v₂, v₃)

·         Penjumlahan

u + v  = (u₁, u₂) + (v₁, v₂)

          = (u₁ + v₁, u₂ + v₂)

u + v = (u₁ + v₁, u₂ + v₂, u₃ + v₃)              Ruang-3

Contoh:

Jika v = (1, -2) dan w = (7, 6) maka v + w = ?

Jawab:

v + w = (1, -2) + (7, 6)

          = (1 + 7, -2 + 6)

          = (8, 4)

·         Pengurangan

u – v  = (u₁, v₁) – (u₂, v₂)

          = (u₁ – v_1, u₂ – v₂)

u – v  = (u₁ – v₁, u₂ – v₂, u₃ – v₃)              Ruang-3

Contoh:

Jika u = (7, 6) dan v = (3, 2), maka u – v = ?

Jawab:

u – v  = (7, 6) – (3, 2)

                          = (7 – 3, 6 – 2)

                          = (4, 4)

·         Gambar titik P (-2, 3, 4)

4.2   NORMA VEKTOR; ILMU HITUNG VEKTOR

 

Panjang sebuah vector v sering dinamakan norma v dan dinyatakan dengan . Jelaslah dari teorema phytagoras bahwa norma vector v = (v_1, v₂) di ruang-2 adalah

Misalkan v = (v₁, v₂, v₃) adalah vector ruang-3. Dengan menggunakan gambar 3.16 dan dua penerapan phytagoras, maka kita dapatkan

                           

                                                                                    

                                                                                    

                                                                              

	Gambar 3.16

 

Jika  dan adalah dua titik di ruang-3, maka jarak d diantara kedua titik tersebut adalah norma vector P₁P₂ , karena

Maka jelas bahwa

4.3   HASIL KALI TITIK; PROYEKSI

Pada bagian ini kita perkenalkan semacam perkalian vektor di ruang-2 dan ruang-3. Sifat-sifat ilmu hitung perkalian ini akan ditentukan dan beberapa penerapannya akan diberikan.

Misalnya u dan v adalah dua vektor taknol di ruang-2 dan ruang-3,dan anggaplah vektor-vektor ini telah dilokasikan sehingga titik awalnya berimpit. Yang kita artikan dengan sudut di antara u dan v, dengan sudut θ yang ditentukan oleh u dan v yang memenuhi 0 ≤ θ ≤ π

	Definisi : Jika u dan v adalah vektor-vektor di ruang-2 atau ruang-3 dan θ adalah sudut di antara u dan v, maka hasil kali titik (dot product) atau hasil kali dalam Euclidis (Euclidean inner product) u • v didefinisikan oleh

 

Misalkan u = (u₁, u₂, u₃) dan v = (v₁, v₂, v₃) adalah dua vektor taknol. Jika, seperti pada gambar dibawah, θ adalah sudut di antara u dan v, maka hukum cosinus menghasilkan

Karena  = v – u, maka dapat kita tuliskan kembali sebagai

atau

Dengan mensubstitusikan

              

dan

Maka setelah menyederhanakannya akan kita dapatkan

Jika u = (u₁, u₂) dan v = (v₁, v₂) adalah dua vektor di ruang-2, maka rumus yang bersesuaian adalah

Jika u dan v adalah vektor taknol, maka rumus di atas dapat kita tulis

Teorema berikut ini memperlihatkan bagaimana hasil kali titik dapat digunakan untuk mendapatkan informasi mengenai sudut diantara dua vektor; teorema ini juga menghasilkan hubungan penting di antara norma dan hasil kali titik.

	Teorema 2 Misalkan u dan v adalah vektor di ruang-2 atau ruang-3. a)      v • v =  ; yakni,  = b)      Jika u dan v adalah vektor-vektor taknol dan θ adalah sudut di antara kedua vektor tersebut, maka θ lancip            jika dan hanya jika u • v > 0 θ tumpul          jika dan hanya jika u • v < 0 θ = π/2             jika dan hanya jika u • v = 0

 

Vektor tegaklurus disebut juga vektor ortogonal. Pada teorema di atas, dua vektor taknol adalah tegaklurus jika dan hanya jika hasil kali titiknya adalah nol. Jika kita sepakat menganggap u dan v agar tegaklurus maka salah satu atau kedua vektor ini haruslah 0, karenanya kita dapat menyatakan tanpa kecuali bahwa baik vektor u maupun v akan ortogonal jika dan hanya jika u • v = 0.

	Teorema 3 Jika u, v dan w adalah vektor-vektor di ruang-2 atau ruang-3 dan k adalah skalar, maka a)      u • v = v • u b)     u • (v + w) = u • v + u • w c)      k(u • v) = (ku) • v = u • (kv) d)     v • v > 0 jika v ≠ 0 dan v • v = 0 jika v = 0

 

Jika u dan a ditempatkan sedemikian rupa maka titik awalnya akan menempati titik Q, kita dapat menguraikan vektor u sebagai berikut.

 

Turunkanlah garis tegaklurus dari atas u ke garis yang melalui a, dan bentuklah vektor w₁ dari Q ke alas garis yang tegaklurus tersebut. Bentuk selanjutnya akan menjadi

w₂ = u – w₁

Sebagaimana ditunjukkan pada gambar di atas, vektor w₁ sejajar dengan a, vektor w₂ tegaklurus dengan a, dan

w₁ + w₂ = w₁ + (u – w₁) = u

Vektor w₁ tersebut kita namakan proyeksi ortogonal u pada a atau kadang-kadang kita namakan komponen vektor u sepanjang a. Hal ini kita nyatakan dengan

proy_au

Vektor w₂ kita namakan komponen vektor u yang ortogonal terhadap a. Karena w₂ = u – w₁ maka vektor ini dapat kita tulis sebagai

w₂ = u – proy_au

Teorema 4 Jika u dan a adalah vektor-vektor di ruang-2 atau ruang-3 dan jika a ≠ 0, maka   (komponen vektor u sepanjang a)  (komponen vektor u yang ortogonal terhadap a)

 

Bukti :

Misalkan w₁ = proy_au dan w₂ = u – proy_au. Karena w₁ sejajar dengan a, maka kita harus mengalikan skalar a, sehingga kita dapat menuliskan dalam bentuk w₁ = ka. Jadi

u = w₁ + w₂ = ka + w₂

Dengan mengambil hasil kali titik dari kedua sisi dengan a maupun dengan menggunakan teorema 2 dan 3 akan menghasilkan

Namun  karena w₂ tegaklurus kepada a, sehingga persamaan di atas menjadi

Karena proy_au = w₁ = ka, kita dapatkan

Sebuah rumus untuk panjang komponen vektor u sepanjang a dapat kita peroleh dengan menuliskan

                     =

                                    =                   (karena  adalah sebuah skalar)

                                    =                     (karena  > 0)

menghasilkan

Jika θ menyatakan sudut antara u dan a, maka , sehingga dengan demikian rumus di atas dapat juga kita tuliskan menjadi

Kemudian rumus untuk menghitung jarak antara titik dan garis adalah

4.4   HASIL KALI SILANG

Definisi : jika u =  dan v =  adalah vector di ruang-3, maka hasil kai silang u x v adalah vector yang didefinisikan oleh

u x v =

atau dalam notasi determinan

u x v =

Terdapat pola pada rumus di atas yang berguna untuk diingat. Jika di bentuk matriks 2 x 3.

Di mana entri baris pertama adalah komponen factor pertama u dan entri baris kedua adalah komponen factor v, maka determinan dalam komponen pertama u x v didapatkan dengan mencoret kolom pertama matriks tersebut, determinan dalam komponen kedua kita dapatkan dengan mencoret kolom kedua dari matriks tersebut, sedangkan determinan dalam komponen ketiga kita dapatkan dengan mencoret kolom ketiga dari matriks tersebut.

Contoh 1

Carilah u x v, di mana u = (1, 2, -2) dan v = (3, 0, 1)

Jawab

u x v =

           = (2, -7, 6)

	Teorema 5. Jika u dan v adalah vector di ruang-3, maka : a.       u . (u x v) = 0                                       (u x v orthogonal ke u) b.      v . (u x v) = 0                                       (u x v orthogonal ke v) c.       ll u x v ll2 = ll u ll ll v ll2 – (u . v)2                          (identitas lagrange)
	Teorema 6. Jika u, v dan w adalah sebarang vektor di ruang-3 dan k adalah sebarang scalar, maka : a.       u x v = - (v x u) b.      u x (v + w) = (u x v) + (u x w) c.       (u + v) x w = (u x w) + v x w) d.      k(u x v) = (ku) x v = u x (kv) e.       u x 0 = 0 x u f.       u x u = 0

 

Misalkan :       

Tinjaulah vector-vektor : i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1)

Setiap vector v = (v₁, v₂, v₃) di ruang ke-3 dapat di ungkapkan dengan i, j, dan k, karenanya kita dapat menuliskan 

            v = (v₁, v₂, v₃) = v₁(1, 0, 0) + v₂(0, 1, 0) + v₃(0, 0, 1) = v₁i + v₂j + v₃k

dan dalam gambar berikut :

dan dari gambar ini di dapat :

i x j =  = (0, 0, 1) = k

jika u dan v adalah vector-vektor taknol di ruang-3, maka norma u x v mempunyai tafsiran  geometric yang berguna. Identitas Lagrange, yang diberikan dalam teorema 5, menyatakan bahwa :

            ll u x v ll² = ll u ll² ll v ll² – u . v

jika q menyatakan sudut di antara u dan v, maka u . v  = ll u ll ll v ll cos q, sehingga dapat kita tuliskan kembali :

            ll u x v ll² = ll u ll² ll v ll² – ll u ll² ll v ll² cos² q

                             = ll u ll² ll v ll² (1 – cos² q)

                              = ll u ll² ll v ll² sin

BAB V

RUANG – RUANG VECTOR

5.1   RUANG-N EUCLIDIS

Definisi : jika n adalah sebuah bilangan bulat positif, maka tupel-n-terorde (ordered-n-tupel) adalah sebuah urutan n bilangan riil (a₁,a₂,………,a_n). himpunan semua tupe-n-terorde dinamakan ruang-n dan dinyatakan dengan Rⁿ .

Bila n=2 atau 3, maka kita biasanya menggunakan istilah pasangan terorde dan tripel terorde dan bukannya tupelo-2-terorde dan tupelo-3-terorde. Bila n=1, setiap tupel-n-terorde terdiri dari satu bilangan riil, sehingga R¹ dapat ditinjau sebagai himpunan bilangan riil. Kita biasanya menuliskan R dan bukannya R¹ untuk himpunan ini.

Definisi dua vector u = (u₁,u₂,…..,u_n) dan v = (v₁,v₂,….,v_n)pada Rⁿ dinamakan sama jika

U₁ = v₁, u₂ = v₂, …..,u_n = v_n

Jumlah u + vdidefinisikan oleh

u + v = (u₁ + v₁, u₂ + v₂,….,u_n + v_n)

dan jika k adalah sebarang scalar, maka perkalian scalar ku didefinisikan oleh

ku = (ku₁, ku₂,…..ku_n)

Teorema 1. Jika u = (u₁,u₂,…..,u_n) , v = (v₁,v₂,….,v_n) dan w = (w₁, w₂,…..,w_n) adalah vector-vektor pada Rⁿ dan k serta l adalah scalar, maka :

a)      U + v = v + u

b)      U + (v + w) = (u + v) + w

c)      U + 0 = 0 + u = u

d)      U + (-u) = 0, yakni u – u = 0

e)      K (lu) = (kl) u

f)       K(u + v) = ku + kv

g)      (k + l)u = ku + lu

h)      1u = u

Definisi. Jika u = (u₁,u₂,…..,u_n)  dan v = (v₁,v₂,….,v_n) adalah sebarang vector pada Rⁿ, maka hasil kali dalam euclidis (Euclidean inner product) u . v kita definisikan dengan

u.v = u₁ v₁ + u ₂v₂ + ….. + u_n v_n

Contoh

Hasil kali dalam euclidis dari vector-vektor itu adalah

u = (-1, 3, 5, 7) dan v = (5, -4, 7, 0)

Sedangkan R⁴ adalah u.v = (-1)(5) + (3)(-4) + (7)(0) = 18

Teorema 2.  Jika u, v, dan w adalah vector pada Rⁿ dan k adalah sebarang scalar, maka :

a)      u . v =  v . u

b)      (u + v) . w = u . w + v . w

c)      (ku) . v = k(u + v

d)      v . v ≥ 0. Selanjutnya, v . v = 0 jika dan hanya jika v = 0

Contoh

Teorema 2 membolehkan kita melakukan perhitungan dengan hasil kali dalm euclidis yang sangat merip dengan cara kita melakukan perhitungan hasil kali ilmu hitung biasa.

Misalnya,

(3u + 2v) . (4u + v) = (3u) . (4u + v) + (2v) . (4u + v)   

                                 = (3u) . (4u) + (3u) . v + (2v) . (4u) + (2v) . v    

                                = 12(u . v) + 3(u . v) + 8(v . u) + 2(v . v)

                                = 12(u . u) + 11(u . v) 2(v . v)

Berdasarkan analogi dengan rumus-rumus yang sudah kita kenal baik R²maupun R³, kita definisikan norma euclidis (atau panjang euclidis) vector u = (u₁,u₂,…..,u_n) pada Rⁿ menurut

Demikian juga jarak euclidis diantara titik u = (u₁,u₂,…..,u_n) dan titik v = (v₁,v₂,….,v_n) pada Rⁿ didefinisikan oleh

Contoh 3

Jika u = (1, 3, -2, 7) dan v = (0, 7, 2, 2) maka,

Dan d(u,v) =

Bagi vector pada notasi vertical, kita punyai rumus matriks

v^tu = u . v

untuk hasil kali dalam euclidis. Misalnya jika

Maka,

5.2   RUANG VEKTOR UMUM

Definisi. Misalkan V sebarang himpunan benda yang dua operasinya kita definisikan, yakni penambahan dan perkalian dengan scalar (bilangan riil). Penambahan tersebut kita pahami untuk mengasosiasikan sebuah aturan dengan setiap pasang benda u dan v dalam V, yang mengandung elemen u + v, yang kita namakan jumlah u dan v; dengan perkalian scalar kita artikan aturan untuk mengasosiasikannya baik untuk setiap scalar k maupun setiap benda u pada V yang mengandung elemen ku, yang dinamakan perkalian scalar (scalar multiple) u oleh k. jika aksioma-aksioma berikut dipenuhi oleh semua benda u, v, w pada V dan oleh semua scalar k dan l, maka kita namakan V sebuah ruang vector (vector space) dan benda – benda pada V kita namakan vector :

1)      jika u dan v adalah benda – benda pada V, maka u + v berada di V

2)      u + v = v + u

3)      u + (v + w) = (u + v) + w

4)      ada sebuah benda 0 di V sehingga 0 + u = u + 0 = u untuk semua u di V

5)      untuk setiap u di V, ada sebuah benda – u di V yang kita namakan negative u sehingga u + (- u ) = (-u)+u = 0

6)      jika k adalah sebarang scalar dan u adalah sebarang benda di V, maka ku berada di V

7)      K(u + v) = ku + kv

8)      (k + l)u = ku + lu

9)      K (lu) = (kl) u

10)  1u = u

Teorema 3. Misalkan V adalah sebuah ruang vector, u sebuah vector pada V, dan k sebuah skalar, maka:

a)      0u = 0

b)      K0 = 0

c)      (-1)u = -u

d)      Jika ku = 0, maka k = 0 atau u = 0

5.3   SUB-RUANG

Definisi : Subhimpunan W dari sebuah ruang vector V dinamakan subruang (subspace) V jika W itu sendiri adalah ruang vector di bawah penambahan dan perkalian scalar yang didefinisikan pada V.

Teorema 4

Jika w adalah himpunan dari satu atau lebih vector dari sebuah ruang vector V, maka w adalah subruang dari V  jika dan hanya jika kondisi-kondisi berikut berlaku.

a)      Jika u dan v adalah vector-vektor pada , maka u + v terletak di w

b)      Jika k adalah sebarang scalar dan u adalah sebarang vector pada w, maka ku berada di w.

Contoh

Perlihatkanlah bahwa himpunan W dari semua matriks 2x2 yang mempunyai bilangan nol pada diagonal utamanya adalah subruang dari ruang vector M₂₂ dari semua matriks 2x2 .

Pemecahan. Misalkan 

Adalah sebarang dua matriks pada matriks pada W dan k adalah sebarang scalar. Maka

Oleh karena kA dan A + B mempunyai bilangan nol diagonal utama, maka kA dan A + B terletak pada W. jadi, W adalah subruang dari M₂₂

Contoh

Tinjaulah vector-vektor u = (1, 2, -1) dan v = (6, 4, 2) di R³. Perlihatkan bahwa w = (9, 2, 7) adalah kombinasi linear u dan v serta bahwa w’ = (4, -1, 8) bukanlah kombinasi linear u dan v.

Pemecahan.  Supaya w merupakan kombinasi linear u dan v, harus ada scalar k₁ dan k₂ hingga w = k₁ u + k₂ v ; yakni (4,-1, 8)=k₁(1, 2, -1)+k₂(6, 4, 2)

Atau (9, 2, 7)=(k₁ + 6k₂, 2k₁ + 4k₂, -k₁ + 2k₂)

Dengan menyamakan komponen yang bersesuaian memberikan

k₁   + 6k₂  = 4

2k₁ + 4k₂  = -1

-k₁ + 2k₂   = 8

System persamaan – persamaan ini tidak konsisten. Sehingga tidak ada scalar-skalar seperti itu. Sebagai konsekuensinya, maka w’ bukanlah kombinasi linear u dan v.

Definisi. Jika v₁, v₂,…,v_r  adalah vector – vector pada ruang vector V dan jika masing – masing vector pada V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear  v₁, v₂,…,v_r  maka kita mengatakan bahwa vetor – vector ini merentang V.

Contoh

Vector-vektor i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) dan k = (0, 0, 1) merentang R³ karena setiap vector (a, b, c) pada R³ dapat kita tuliskan sebagai

(a, b, c) = ai + bj + ck

Yang merupakan kombinasi linear I, j, dan k

Contoh

Tentukan apakah v₁ = (1, 1, 2), v₂ = (1, 0, 1), dan v₃ = (2, 1, 3) merentang R³.

Pemecahan. Kita harus menentukan apakah sebarang vector b = (b₁, b₂, b₃) pada R³ dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear

b = k₁ v₁ + k₂ v₂ + k₃ v₃

dari vector – vector v₁, v₂, v₃. Dengan menyatakan persamaan ini dalam komponen – komponen maka akan memberikan

(b₁, b₂, b₃) = k₁  (1, 1, 2) + k₂  (1, 0, 1) + k₃ (2, 1, 3) atau

(b₁, b₂, b₃) = (k₁ + k₂ + 2 k₃,    k₁ + k₃,     2k₁ + k₂ + 3k₃

Dapat juga k₁ + k₂ + 2 k₃ = b₁

                     k₁ +            k₃ = b₂

                               2k₁ + k₂ + 3k₃ = b₃

Menurut bagian a dan bagian d dari teorema 15, maka system ini akan konsisten untuk semua nilai b₁, b₂, dan b₃ jika dan hanya matriks koefisien – koefisien dapat dibalik.

A =      

Tetapi det (A) = 0, sehingga A tidak dapat dibalik, dan sebagai konsekuensinya, maka v₁, v₂, v₃ tidak merentang R³.

Teorema 5. Jika v₁, v₂,…,v_r adalah vector-vektor pada ruang V, maka:

a)      Himpunan W dari semua kombinasi linear v₁, v₂,…,v_r adalah subruang V.

b)      W adalah subruang terkecil dari V yang mengandung  v₁, v₂,…,v_r  dalam arti bahwa setiap subruang lain dari V yang mengandung v₁, v₂,…,v_r harus mengandung W.

                                                                                           

5.4  KEBEBASAN LINIER

Definisi. Jika S =  adalah himpunan vector, maka persamaan vector

k₁ v₁ + k₂ v₂ + … + k_r v_r = 0

mempunyai paling sedikit satu pemecahan, yakni

K₁ = 0,     k₂ = 0,….., k_r = 0

Jika ini adalah satu-satunya pemecahan, maka S kita namakan himpunan bebas linier (linearly independen). Jika ada pemecahan lain, maka S kita namakan himpunan tak-bebas linier (linier dependent).

Contoh :

Himpunan vector-vektor , dimana v₁= (2, -1, 0, 3), v₂ = (1, 2, 5, -1), dan v₃ = (7, -1, 5, 8) adalah himpunan tak bebas linier, karena 3v₁ + v₂ – v₃ = 0.

Contoh :

Tinjaulah vektor-vektor i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) dan k = (0, 0, 1) pada R³. Ruas komponen persamaan vector

K₁ i + k₂ j + k₃ k = 0

K₁(1, 0, 0) + k₂(0, 1, 0) + k₃(0, 0, 1) = 0

Jadi , K₁ = 0, k₂ = 0 dan k₃ = 0; sehingga himpunan S = (i, j, k) bebas linier. Uraian serupa dapat digunakan untuk memperlihatkan bahwa vector-vector e₁ = (0, 0, 0, … , 1), e₂ = (0, 1, 0, 0, …, 0), … ,e_n = (0, 0, 0, …,0) membentuk himpunan bebas linier pada Rⁿ.

 

Contoh interpretasi geometric dari ketakbebasan linier dalam R²

								(b)
		(a)

 

Gambar  4.6 (a) takbebas linier, (b) takbebas linier, (C) bebas linier

Teorema 8. Misalkan  adalah himpunan vector-vektor pada Rⁿ jika r > n, maka S takbebas linier. 

BAB III

PENUTUP

Saran

Alangkah baiknya kita mengenal Matematika dulu sebelum kita menganggap Matematika itu sulit, karena bila kita telah mengenal Matematika dengan baik dan menikmati bagaimana Matematika itu bekerja akan terasa bahwa Matematika itu tidaklah seburuk apa yang kita pikirkan.